Какой корь из 2

1,4142135623 7309504880 1688724209 6980785696 7187537694
8073176679 7379907324 7846210703 8850387534 3276415727
3501384623 0912297024 9248360558 5073721264 4121497099
9358314132 2266592750 5592755799 9505011527 8206057147
0109559971 6059702745 3459686201 4728517418 6408891986
0955232923 0484308714 3214508397 6260362799 5251407989
6872533965 4633180882 9640620615 2583523950 5474575028
7759961729 8355752203 3753185701 1354374603 4084988471
6038689997 0699004815 0305440277 9031645424 7823068492
9369186215 8057846311 1596668713 0130156185 6898723723
5288509264 8612494977 1542183342 0428568606 0146824720
7714358548 7415565706 9677653720 2264854470 1585880162
0758474922 6572260020 8558446652 1458398893 9443709265
9180031138 8246468157 0826301005 9485870400 3186480342
1948972782 9064104507 2636881313 7398552561 1732204024
5091227700 2269411275 7362728049 5738108967 5040183698
6836845072 5799364729 0607629969 4138047565 4823728997
1803268024 7442062926 9124859052 1810044598 4215059112
0249441341 7285314781 0580360337 1077309182 8693147101
7111168391 6581726889 4197587165 8215212822 9518488472

Значение √2 с первой тысячей разрядов десятичной дроби[1].

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из числа 2 — положительное вещественное число, которое при умножении само на себя даёт число 2. Обозначение:

Геометрически корень из 2 можно представить как длину диагонали квадрата со стороной 1 (это следует из теоремы Пифагора). Вероятно, это было первое известное в истории математики иррациональное число (то есть число, которое нельзя точно представить в виде дроби).

Хорошим и часто используемым приближением к является дробь . Несмотря на то, что числитель и знаменатель дроби лишь двузначные целые, оно отличается от реального значения меньше, чем на 1/10000.

История[править | править код]

Вавилонская глиняная табличка с максимально точным указанием длины диагонали единичного квадрата четырёхзначным шестидесятеричным числом.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800–1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, называемом «Шульба-сутры» (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Пифагорейцы обнаружили, что диагональ квадрата несоизмерима с его стороной, или на современном языке, что квадратный корень из двух является иррациональным. Мало что известно с определённостью о времени и обстоятельствах этого выдающегося открытия, но традиционно его авторство приписывается Гиппасу из Метапонта, которого за это открытие, по разным вариантам легенды, пифагорейцы не то убили, не то изгнали, поставив ему в вину разрушение главной пифагорейской доктрины о том, что «всё есть [натуральное] число». Поэтому квадратный корень из 2 иногда называют постоянной Пифагора, так как именно пифагорейцы доказали его иррациональность, тем самым открыв существование иррациональных чисел[источник не указан 2343 дня].

Алгоритмы вычисления[править | править код]

Существует множество алгоритмов для приближения значения квадратного корня из двух обыкновенными или десятичными дробями. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше ), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с :

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение до 137 438 953 444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Сигэру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор с частотой 3,6 ГГц и 16 ГБ ОЗУ.

Мнемоническое правило[править | править код]

Для запоминания значения корня из двойки с восемью знаками после запятой (1,41421356) можно воспользоваться следующим текстом (число букв в каждом слове соответствует десятичной цифре):
«И плод у меня, но у них много корней».

Свойства квадратного корня из двух[править | править код]

Половина приблизительно равна 0,70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора, образующего угол 45° с координатными осями:

Одно из интересных свойств состоит в следующем:

. Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство :

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i, используя только квадратные корни и арифметические операции:

Квадратный корень из 2 является единственным числом, отличным от 1, чья бесконечная тетрация равна его квадрату.

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

при

С точки зрения высшей алгебры, является корнем многочлена и поэтому является целым алгебраическим числом[2]. Множество чисел вида , где — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности[править | править код]

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде дроби , где — целое число, а — натуральное.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

Так как разложение на простые множители содержит в чётной степени, а — в нечётной, равенство невозможно.
Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Непрерывная дробь[править | править код]

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь , то последующая имеет вид . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги[править | править код]

Квадратный корень из двух используется в соотношении сторон листа бумаги формата ISO 216. Соотношение сторон равно . При разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции. Это позволяет нумеровать форматы бумаги одним числом по убыванию площади листа (числу разрезов): А0, А1, А2, А3, А4,…

Читайте также: Точки на языке при кори

См. также[править | править код]

Иррациональные числа
Теорема Виета

Примечания[править | править код]

Литература[править | править код]

Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.

Ссылки[править | править код]

Pythagoras’s Constant (англ.).

Источник

Первые 1000 знаков значения √2[1].

Квадратный корень из 2 равен длине гипотенузы в прямоугольном треугольнике с длиной катетов 1.

Квадратный корень из 2.

Энциклопедичный YouTube

1/5
Просмотров:
371 371
250 097
11 819
24 747
10 016

Привет!
Сегодня мы овладеем тайным
знанием извлечения корней.
Речь не идет о мандрагоре
или чем-то более мифологическом.
Только квадратные арифметические
корни, только хардкор!
Например, мы найдем корень
из 5329-ти, поехали.
Запоминайте, детки, разбиваем
цифры числа на пары, начиная
с разряда единиц: каждой
твари по паре!
Извлекаем с недостатком
корень из 53.
Семь в квадрате – 49, так
что больше этого ухватить
не получится.
Из 53 вычитаем 49, и, как в
начальной школе, сносим
новые цифры.
А теперь главное: нарисуй
вот такие вот черточки
– без них у тебя нет шансов!
Дальше внимательно: нашу
первую цифру нужно будет
умножить на два, всегда
умножаем на два, удвоенное
произведение, так сказать.
Звездочка – это как раз
новая цифра искомого числа.
Ищется она так: число один-четыре-звездочка,
нужно умножить на звездочку
да так, чтобы получить максимальное
число, не превосходящее
429.
Объясняю: 141 на 1 – это 141
– мало. 142 на 2 – это 284 – тоже
маловато с виду, так что
попробуем тройку: 3 на 3
– это 9, 3 на 4 – 12, два пишем,
один запоминаем, ну и 3 на
1 – это 4 – о-о-о, 429, значит,
наш корень извлекся целым
и невредимым.
Ответ 73.
Круто, но если ты человек
амбициозный, то, конечно
же, посмотришь пример посложней.
Корень из 15876.
Разбиваем цифры на пары.
Единичке за неимением соседа
слева приписываем нолик.
Извлекаем корень из одного
– получаем, один, ясное
дело.
Вычитаем, сносим две новые
цифры.
И самое главное: не прозевай
черточки!
Нашу первую цифру из ответа
умножаем на два, ставим
звездочку – это будет вторая
цифра результата.
Число: два-звездочка умножаем
на звездочку, чтобы вплотную
подступиться к 58.
Единица – мало, тройка
– много, двойка – в самый
раз!
22 на 2 – это 44.
Вычитаем их из 58, сносим
две новые цифры и не забываем
записать найденную звезду
по имени два в результат.
Который затем удваиваем
(удвоенное произведение)
и дописываем звездочку
справа.
Сейчас предстоит уже трехзначное
число умножать на неизвестную
звездочку, чтобы максимально
добрать до 1476. 24 на 6 – это
144: давайте попробуем шесть!
И… тютелька-в-тютельку
нужное число.
То есть корень из 15876 равен
126.
Да-а, вот это уже было мощно!
Но готов спорить, ты человек
взрослый и привык решать
задачи самостоятельно.
Дерзай и помни: калькулятор
– для слабаков!
Паузу, дружище, нажимай
паузу, потому что здесь
уже разбор.
Корень из 293764.
Да-а-а-а-а!
На пары мысленно разбили,
извлекаем корень из 29 с
недостатком.
Ага – это пять!
Вычитаем, цифры сносим,
и тут главное – что?
Черточки не забыть!
Удвоенное произведение,
справа – звездочку и ищем
эту звездочку.
На мой взгляд, четыре сойдет.
Получаем 416, вычитаем и
сносим две новые цифры.
Не забываем четверочку
переписать в актуальный
результат.
Умножаем его на два, опять
справа звездочка – ищем
звездочку.
Ну сколько здесь?
Ну двойка, конечно же!
Как раз 2164.
Значит, наш корень равен
пятистам сорока двум!
Вообще, если ты оптимист,
и думаешь, что под корнем
квадрат натурального числа,
то можно было бы иначе:
оценить корень с точностью
до десятков.
Скажем, корень из 9409 – очевидно,
больше 90, но меньше 100.
Ибо 90 в квадрате – 8100, а
100 в квадрате – 10000.
То есть наше число – это
девяносто с лишним.
Ну а разряд единиц находим
вот как: девяносто с лишним
умножаем на девяносто с
лишним – должно получиться
9409 – на конце 9.
Откуда это девятку взять?
Ну а что вам шепчет внутренняя
таблица умножения?
Трижды-три – девять.
Семью-семью – сорок девять,
и никакая другая цифра
в квадрате девятку на конце
не дала бы.
Значит, наш корень равен
либо 93, либо 97.
Для точности стоит сделать
проверку.
Умножением, ясное дело.
Полагаю, с этим ты справишься.
97 ответ!
Но способ, который мы сегодня
освоили, хорош тем, что
работает даже там, где обычный
порошок не справляется!
Например, можно было бы
извлечь корень из 7 с любой
наперед заданной точностью!
Смотрите сами!
Если мои способности склонять
числительные тебя впечатлили,
поделись этим видео с филологом,
лингвистом или на худой
конец с математиком.

Содержание

1 История
2 Алгоритмы вычисления
3 Мнемоническое правило
4 Свойства квадратного корня из двух
5 Доказательство иррациональности
6 Непрерывная дробь
7 Размер бумаги
8 См. также
9 Примечания
10 Литература
11 Ссылки

История

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт наиболее точное приближённое значение при записи в четырёх шестидесятеричных цифрах, что после округления составляет 6 точных десятичных цифр:

Другое раннее приближение этого числа в древнеиндийском математическом тексте, Шульба-сутры (ок. 800—200 до н. э.) даётся следующим образом:

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Несколько первых приближений, начиная с :

3/2 = 1,5
17/12 = 1,416…
577/408 = 1,414215…
665857/470832 = 1,4142135623746…

Мнемоническое правило

Свойства квадратного корня из двух

Одно из интересных свойств состоит в следующем:

. Потому что

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство :

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения :

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, рационален, то есть представляется в виде дроби , где и — целые числа.

Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

Так как разложение m2 на простые множители содержит 2 в четной степени, а 2n2 — в нечетной, равенство m2=2n2 невозможно.
Значит, исходное предположение было неверным, и — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

См. также

Иррациональные числа
Теорема Виета

Примечания

Литература

Клауди Альсина. Секта чисел. Теорема Пифагора. — М.: Де Агостини, 2014. — 152 с. — (Мир математики: в 45 томах, том 5). — ISBN 978-5-9774-0633-8.

Ссылки

Pythagoras’s Constant (англ.).

Источник

История

Какой корь из 2

Вавилонская глиняная табличка с примечаниями.

Вавилонская глиняная табличка (ок. 1800—1600 до н. э.) даёт приближённое значение sqrt{2} в четырёх шестидесятеричных цифрах, что составляет 8 десятичных цифр:

$1 + frac{24}{60} + frac{51}{60^2} + frac{10}{60^3} = 1.41421overline{296}.$

$1 + frac{1}{3} + frac{1}{3 cdot 4} - frac{1}{3 cdot4 cdot 34} = frac{577}{408} approx 1.414215686.$

Алгоритмы вычисления

Существует множество алгоритмов для вычисления значения квадратного корня из двух. В результате алгоритма получается приблизительное значение sqrt{2} в виде обыкновенной или десятичной дроби. Самый популярный алгоритм для этого, который используется во многих компьютерах и калькуляторах, это вавилонский метод вычисления квадратных корней. Он состоит в следующем:

$a_{n+1} = frac{a_n + frac{2}{a_n}}{2}=frac{a_n}{2}+frac{1}{a_n}.$

Чем больше повторений в алгоритме (то есть, чем больше «n»), тем лучше приближение квадратного корня из двух. Каждое повторение приблизительно удваивает количество правильных цифр. Приведём несколько первых приближений:

3/2 = 1.5
17/12 = 1.416…
577/408 = 1.414215…
665857/470832 = 1.4142135623746…

В 1997 году Ясумаса Канада вычислил значение √2 до 137,438,953,444 десятичных знаков после запятой. В феврале 2007 года рекорд был побит: Шигеру Кондо вычислил 200 миллиардов десятичных знаков после запятой в течение 13 дней и 14 часов, используя процессор 3.6 GHz с 16 ГБ ОЗУ. Среди математических констант только было вычислено более точно.

Свойства квадратного корня из двух

Половина √2 приблизительно равна 0.70710 67811 86548; эта величина даёт в геометрии и тригонометрии координаты единичного вектора,образующего угол 45° с координатными осями:

$frac{sqrt{2}}{2} = sqrt{frac{1}{2}} = frac{1}{sqrt{2}} = cos(45^circ) = sin(45^circ).$

Одно из интересных свойств √2 состоит в следующем:

! {1 over {sqrt{2} - 1}} = sqrt{2} + 1 .Потому что (sqrt{2}+1)(sqrt{2}-1)=2-1=1.

Это является результатом свойства серебряного сечения.

Другое интересное свойство √2:

sqrt{2+sqrt{2+sqrt{2 + cdots}}} = 2.,

Квадратный корень из двух может быть выражен в мнимых единицах i используя только квадратные корни и арифметические операции:

$frac{sqrt{i}+i sqrt{i}}{i}$ и $frac{sqrt{-i}-i sqrt{-i}}{-i}.$

$sqrt{2}^ {sqrt{2}^ {sqrt{2}^ { cdot^ {cdot^ cdot}}}} = 2$

Квадратный корень из двух может быть также использован для приближения π:

$2^msqrt{2-sqrt{2+sqrt{2+cdots+sqrt{2}}}} to pitext{ as }m to infty,$

С точки зрения высшей алгебры, sqrt{2} является корнем многочлена x^2-2 и поэтому является целым алгебраическим числом. Множество чисел вида a+bsqrt{2} , где ~a, b — рациональные числа, образует алгебраическое поле. Оно обозначается mathbb{Q}[sqrt{2}] и является подполем поля вещественных чисел.

Доказательство иррациональности

Применим доказательство от противного: допустим, sqrt{2} рационален, то есть представляется в виде несократимой дроби $frac{m}{n}$ , где и — целые числа. Возведём предполагаемое равенство в квадрат:

$sqrt{2} = frac{m}{n} Rightarrow 2 = frac{m^2}{n^2} Rightarrow m^2 = 2n^2$ .

Отсюда следует, что m^2 чётно, значит, чётно и . Пусть m=2r , где целое. Тогда

(2r)^2=2n^2 Rightarrow n^2=2r^2

Следовательно, n^2 чётно, значит, чётно и . Мы получили, что и чётны, что противоречит несократимости дроби $frac{m}{n}$ . Значит, исходное предположение было неверным, и sqrt{2} — иррациональное число.

Непрерывная дробь

Квадратный корень из двух может быть представлен в виде непрерывной дроби:

$! sqrt{2} = 1 + cfrac{1}{2 + cfrac{1}{2 + cfrac{1}{2 + cfrac{1}{2 + ddots}}}}.$

Подходящие дроби данной непрерывной дроби дают приближённые значения, быстро сходящиеся к точному квадратному корню из двух. Способ их вычисления прост: если обозначить предыдущую подходящую дробь $frac {m}{n}$ , то последующая имеет вид $frac {m+2 n}{m+n}$ . Скорость сходимости здесь меньше, чем у метода Ньютона, но вычисления гораздо проще. Выпишем несколько первых приближений:

$frac {3}{2}; frac {7}{5}; frac {17}{12}; frac {41}{29}; frac {99}{70}; frac {239}{169}; frac {577}{408}; frac {1393}{985}; frac {3363}{2378} dots$

Квадрат последней приведенной дроби равен (округлённо) 2,000000177.

Размер бумаги

Квадратный корень из двух является пропорцией формата бумаги ISO 216. Соотношение сторон таково, что при разрезании листа пополам параллельно его короткой стороне получатся два листа той же пропорции.

См. также

Иррациональность
Теорема Виета

Категории:

Математические константы
Иррациональные числа
Алгебраические числа

Wikimedia Foundation.
2010.

Смотреть что такое «Квадратный корень из 2» в других словарях:

КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ — (от лат. quadratum). См. КВАДРАТ. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Чудинов А.Н., 1910. КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ от лат. quadratum, квадрат. См. КВАДРАТ. Объяснение 25000 иностранных слов, вошедших в употребление в русск … Словарь иностранных слов русского языка
квадратный корень из — — [https://www.iks media.ru/glossary/index.html?glossid=2400324] Тематики электросвязь, основные понятия EN sqrt … Справочник технического переводчика
Квадратный корень — У этого термина существуют и другие значения, см. Корень (значения). Квадратный корень из (корень 2 й степени) это решение уравнения вида . Наиболее часто под и подразумеваются числа, но в некоторых приложениях они могут быть и другими… … Википедия
Квадратный корень из 3 — Иррациональные числа γ ζ(3) √2 √3 √5 φ α e π δ Система счисления Оценка числа √3 Двоичная 1.1011101101100111101… Десятичная 1.7320508075688772935… … Википедия
Квадратный корень из 5 — Иррациональные числа γ ζ(3) √2 √3 √5 φ α e π δ Система счисления Оценка числа √5 Двоичная 10.0011110001101111… Десятичная 2.23606797749978969… Шестнадцатеричная … Википедия
КВАДРАТНЫЙ КОРЕНЬ ДАННОГО ЧИСЛА — число, которое по умножении само на себя дает данное число; напр. кв. корень 16 есть 4. Словарь иностранных слов, вошедших в состав русского языка. Павленков Ф., 1907 … Словарь иностранных слов русского языка
квадратный корень из суммы квадратов — — [Л.Г.Суменко. Англо русский словарь по информационным технологиям. М.: ГП ЦНИИС, 2003.] Тематики информационные технологии в целом EN root sum square … Справочник технического переводчика
Быстрый инверсный квадратный корень — Вычисление освещения и отражения (показано на примере шутер от первого лица OpenArena) использует в коде быстрый инверсный квадратный корень для вычисления углов падения и отражения. Быстрый инверсный квадратный корень (иногда называемый Быстрый… … Википедия
Быстрый обратный квадратный корень — Вычисление освещения и отражения (показано на примере шутера от первого лица OpenArena) использует в коде быстрый инверсный квадратный корень для вычисления углов падения и отражения … Википедия
Метод «квадратный корень суммы квадратов» — 3.13 Метод «квадратный корень суммы квадратов» Метод оценки максимальной реакции конструкции с помощью квадратного корня суммы квадратов модальных значений реакции. Источник: ИСО 3010: Основы расчета конструкций Сейсмические воздействия на… … Словарь-справочник терминов нормативно-технической документации

Источник